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Mit diesen Experimenten feiert ihr mathematisch angemessen den Pi-Tag

Dieses Jahr ist Epic-Pi-Day! Ein Hochfest für Wahrscheinlichkeitsrechner.

von Christine Kewitz
13 März 2015, 6:00am

​Pi all überall. Bild: ​Pixabay, 

​Diesen Samstag, am 14. März 2015, begehen wir den Epic-Pi-Day. Das ist etwas ganz Besonderes und sollte angemessen gefeiert werden. 

Der Pi-Tag findet zwar jedes Jahr traditionell am 14 März statt, doch wenn wir das aktuelle Datum in amerikanischer Weise aufschreiben, ergibt sich folgende Konstruktion, die mit der passenden Uhrzeit zu ihrer vollkommenen Blüte erstrahlt: 3-14-15-9:26:53.

Alles Gute, Pi! Bild:  ​Wikipedia, Technischen Universität Delft | Public Domain 

Somit präsentieren sich dem überraschten Mathefreund die ersten Nachkommastellen der Jubiläumszahl. Die restlichen zehn Millionen Ziffern, die uns auch in zweitausend Jahren leider kein Jahrestag zur Verfügung stellen wird, lassen sich bei  ​Pibel.de („Der Pi-Domain voller Nachkommastellen") nachvollziehen. Falls ihr sie vergessen habt, gibt es dort auch die komplette Zahl zum Download.

Bis zum nächsten Epic-Pi-Day müssen wir also ein weiteres Jahrhundert warten und lassen dem Geburtstagskind nun natürlich jede Ehre zukommen. Für die angemessene Zeremonie der mathematischen Konstante möchten wir euch gerne ein ein paar partyerprobte Experimente vorschalgen, die sich in ihren Ergebnissen alle der Kreiszahl stark annähern (und sie bestenfalls sogar treffen).


Das Buffonsche Nadelproblem

Die grünen Punkte stellen Schnittpunkte der Stäbchen mit den Linien dar. Bild: ​ ​WikipediaMcZusatz | ​CC BY-SA 3.0

Zeichne auf einer Unterlage parallele Linien in regelmäßigem Abstand (gut ist z.B. ein Abstand von zwei Streichholzlängen) und werfe eine bestimmte Anzahl von Zündhölzern oder eben Nadeln wahllos darauf. Dann zähle die Hölzchen, welche eine Linie kreuzen und teile die Gesamtheit der Streichhölzer durch die der Kreuzenden. Das Ergebnis ergibt Pi (oder zumindest fast). Die besten Resultate kommen zustande, wenn möglichst viele Streichhölzer oder Nadeln verwendet werden.

Hier ist ein Video zum Pi-Streichholzwurf von unserem Lieblingsmathematiker-Kanal  ​Numberphile:

Das  ​Buffonsche Nadelproblem gehört zum Bereich der Integralgeometrie und folgt dem Prinzip der ​Monte-Carlo-Simulation, einem stochastischen Verfahren, welches oft für Zufallsexperimente angewandt wird. Dabei werden mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitstheorie komplizierte analytische Probleme numerisch gelöst. Die Monte-Carlo-Simulation wurde jedoch erst um 1940 eingeführt und ist im Vergleich zu dem betagten Pi noch ein mathematischer Frischling. 

Auch das Buffonsche Nadelproblem existiert bereits seit 1733, was einmal mehr zeigt, wie sich die Wissenschaftler durch die Jahrhunderte der magischen Anziehungskraft von Pi nicht entziehen konnten.

Die Schneeflöckchen-Berechnung

Je mehr Schneeflocken oder Dartpfeile am Experiment beteiligt wird, desto näher trifft das Ergebnis die Zahl Pi. Bild:  ​WikimediaCaitlinJo | ​CC BY 3.0 

Auch diese Variante gehört zu den Monte Carlo Simulationen. In diesem Fall werden Dartpfeile wahllos auf eine Dartscheibe geworfen, die auf einem passgenauen quadratischen Untergrund an die Wand genagelt wurde. Das selbe Experiment lässt sich übrigens auch mit Schneeflocken und der Abbildung eines Kreises innerhalb eines Quadrates durchführen. Obwohl diese Versuchsanordnung bei einem geübten Dartspieler möglicherweise eine geringere Zufälligkeit aufweist, unterliegt auch die Schneevariante einigen Unsicherheiten. Zum einen darf kein Wind aufkommen und dann müssten die Schneeflocken vor ihrem Schmilzen noch schnell gezählt werden.

Auch hier gilt wieder: berechne Pi anhand des Verhältnisses von Pfeilen oder Schneeflocken welche sich im Kreis beziehungsweise im Quadrat befinden.

Die Billard-Methode

Bei der Pi-Analyse. Bild:  ​WikimediaLionel Allorge | Public Domain

Ja, Pi lässt sich auch bei einer Runde Billard berechnen. Diese Methode ist etwas komplizierter und wurde in einem ​Paper der Fakultät für Mathematik und Computerwissenschaft der Universität Illinois 2003 zum ersten Mal vorgestellt. 

Das Experiment funktioniert folgendermaßen: die weiße Kugel spielt die Rote an, welche die Bande trifft und wieder gegen die Weiße prallt. Für eine mathematisch korrekte Versuchsanordnung ist es natürlich vonnöten, dass die Kugeln eine gleichmäßige Bewegung ohne Reibung vollführen. Außerdem wird die weiße Kugel für die Rechnung etwas an Gewicht zunehmen und demzufolge 100 mal schwerer als die Rote sein.

Die Aktion sieht nun also folgendermaßen aus: die schwere weiße Kugel trifft die Rote und verliert dabei kaum an Geschwindigkeit. Die Rote ist dennoch schneller, trifft die Bande, wird zurück gestoßen und trifft wieder die Weiße. Diese nimmt mit jedem Aufprall der Roten ein klein wenig an Tempo ab, stößt die Rote jedoch immer wieder zurück an die Bande, welche von dort wieder zurückprallt und die Weiße trifft... Und so fort.

„Irgendwann hat die leichte Kugel die schwere Kugel so häufig getroffen, dass sie schließlich stehen bleibt und beim nächsten Stoß die Richtung wechseln wird. Die leichte Kugel wird die schwere Kugel bald nicht mehr erreichen und die Zählung für diese Runde ist komplett", erklärt ​Scienceblogs in einem anschaulichen Beitrag zu diesem Phänomen.

Bei gleichschweren Kugeln (N=0 ergibt M = m) gab es demnach 3 Kollisionen. Bei einer 100 mal schwereren weißen Kugel, also N=1 (M = 100m) sind es 31. Daraus folgt: bei N=2 (M = 10.000m) entstehen fantastische 314 Kollisionen. Führt man dieses Experiment nun weiter fort, ergibt sich Stück für Stück die gesamte Ziffernfolge von Pi.

Und wer hätte das gedacht, auch hierzu gibt es ein tolles Video von Numberphile.

Wenn ihr nach diesen kleinen Experimenten auf den Geschmack der irrationalen und transzendenten Zahl gekommen seid, dann bieten euch alle erdenklichen Disziplinen von Mathe bis Popkultur fantastische Einblicke in Pi. Es gibt Rekorde, Kuriositäten, Filme, Literatur,  ​Comedy und jede Menge offener Fragen.

Mit 3.14159265358979323... wird euch sicherlich nicht langweilig.

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