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Endlich entdecken Mathematiker ein Muster im Chaos der Primzahlen

Seit der Antike rätseln Gelehrte, warum Primzahlen so willkürlich verteilt sind. Jetzt haben Forschende eine verblüffende Entdeckung gemacht.

von Liv Boeree; Übersetzt von Sandra Sauerteig
21 September 2018, 7:41am

Bild: Shutterstock | Robert Lessmann

Primzahlen stellen Forschende seit Jahrhunderten vor Rätsel, denn bisher gelten die sogenannten Bausteine der Mathematik als so unberechenbar wie der nächste Tweet von Donald Trump. Nun ist die Wissenschaft dem Rätsel der Primzahlen weiter auf die Spur gekommen, denn einem Forschungsteam der Princeton University ist es gelungen, ein Muster im Chaos zu entdecken.

Durch eine kreative Berechnungsmethode fiel ihnen eine überraschende Ähnlichkeit zwischen Primzahlen und natürlichen Kristallformen auf. Ihre Entdeckung könnte für die Physik und die Materialforschung weitreichende Folgen haben.

Primzahlen sind natürliche, ganze Zahlen, die nur durch sich selbst und durch 1 teilbar sind. An die ersten Primzahlen 2, 3, 5, 7, 11 dürften wir uns wohl alle noch dunkel aus dem Matheunterricht erinnern. Doch im zweistelligen Bereich hören die Primzahlen noch lange nicht auf. In unregelmäßigen Abständen erstrecken sie sich auf dem Zahlenstrahl vermutlich bis in die Unendlichkeit.

Je größer die Zahlen werden, desto seltsamer erscheinen die Abstände zwischen den Primzahlen. Seit sie von den alten Griechen entdeckt wurden, versuchen Mathematikerinnen und Mathematiker, ein System oder Muster hinter den Primzahlen zu entdecken. Die Entdeckung einer neuen Primzahl wird als Rekord gefeiert.

Ihre Unregelmäßigkeit hat aber auch Vorteile: Einige der wichtigsten Verschlüsselungstechniken basieren auf der scheinbaren Willkür von sehr großen Primzahlen. Der Algorithmus hinter dem beliebten RSA-Kryptosystem beispielsweise beruht auf der Tatsache, dass es einfach ist, zwei große Primzahlen zu multiplizieren. Hat man aber eine sehr große Zahl vor sich, ist es schwer, zu entschlüsseln, welche zwei Primzahlen hier multipliziert wurden.

Wie Röntgenstrahlen einem Kristall Geheimnisse entlocken

Dem Geheimnis der Primzahlen sind die Forschenden über einen Umweg auf die Spur gekommen und dieser Umweg führt über Kristalle. Chemikerinnen oder Physiker beschießen zum Beispiel Kristalle mit Röntgenstrahlen, um ihre Struktur mithilfe der abprallenden Strahlen zu untersuchen. Bei unterschiedlichen Materialien entstehen unterschiedliche Muster, je nachdem, wie symmetrisch ihre Atome angeordnet sind. Dieser Prozess wird als Röntgenbeugung bezeichnet.

Bild: Theoretical Chemistry Group

Das Beugungsspektrum einer Flüssigkeit, deren Atome in Bewegung sind, wirkt beispielsweise wenig strukturiert. Die Atome in einer Kristallstruktur sind hingegen in einem strengen Muster angeordnet – das wird sichtbar, wenn man Röntgenstrahlen durch Salzkristalle oder Diamanten schickt.

Vergangenes Jahr hatte Chemieprofessor Salvatore Torquato von der Princeton University also eine Idee: Könnte es sein, dass Primzahlen so angeordnet sind, wie atomare Teilchen? Könnten auch sie ein ähnliches Muster bilden?

Gemeinsam mit seinem Studenten Ge Zhang und dem Mathematiker Matthew de-Courcy-Ireland, stellte Torquato die Primzahlen in einer Computersimulation als eindimensionale Atomreihe dar und ließ Licht davon abprallen. Das Ergebnis, das er am 5. September 2018 im Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment veröffentlichte, war überraschend: Die Primzahlen erzeugen nicht nur ein Beugungsspektrum, dass sogenannten Quasikristallen sehr ähnlich ist – sie ergaben ein Muster, das so noch nie gesehen wurde. Torquato sagte gegenüber dem Quanta Magazine, dass Primzahlen "eine komplett neue Kategorie" seien, wenn man sie als physikalisches System betrachtet.


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Was Primzahlen mit den Augen von Vögeln gemeinsam haben

Interessanterweise taucht das einzigartige Beugungsspektrum nur auf, wenn man große Abschnitte des Zahlenstrahls betrachtet. Bei kleineren Abschnitten taucht es nicht auf. Diese Eigenschaft wird als ungeordnete Hyperuniformität bezeichnet und kommt in der Natur äußerst selten vor: etwa in den Fotorezeptoren in den Augen von Vögeln, einigen Meteoriten, Quasikristallen, der Struktur des Universums und anscheinend auch in Primzahlen.

Auch wenn diese Ergebnisse zunächst keine bahnbrechenden Erkenntnisse für die Zahlentheorie bringen, könnten sie für die Erforschung aperiodischer Strukturen – also sich nicht wiederholender Muster – in der Physik und Materialforschung sehr nützlich sein. Außerdem könnte das Muster dazu genutzt werden, um hohe Primzahlen mit größerer Genauigkeit zu ermitteln.

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Dieser Artikel ist zuerst auf der englischsprachigen Seite von Motherboard erschienen.