I fisici hanno riprodotto il paradosso dell’Hotel di Hilbert con la luce

È una notte buia e tempestosa e tu e i tuoi amici vi fermate davanti all’entrata dell’Hotel Infinite. Hai guidato per ore e tutto ciò che vuoi è una doccia e un letto accogliente. Un’insegna vicino alla porta dell’hotel recita la frase “PIENO,” ma è l’unico posto aperto nel raggio di chilometri, così decidi di tentare la fortuna. Lanci un’occhiata a un poster con sopra il simbolo dell’infinito prima di spingere la porta dell’hotel. Un campanellino tintinna dolcemente, annunciando il tuo arrivo.

Un uomo anziano è alla reception—Hilbert, è il nome che si legge sul cartellino che ha sul petto. “Piacere, sono Hilbert,” dice l’anziano. “Questo è il mio hotel.”

Spieghi a Hilbert che hai bisogno di una camera per te e i tuoi amici. “Quante stanze avete?” chiedi.

“Quante vuole, sono infinite,” risponde Hilbert. “Ma sfortunatamente sono tutte piene.”

Ti giri, cominci a camminare verso la porta, ma Hilbert ti ferma. “Un attimo—quanti amici ha?”

“Un numero infinito,” rispondi.

L’anziano ti osserva per un attimo e guarda nella sua agenda, dopodiché prende il telefono e bisbiglia qualcosa alla cornetta. Si gira verso di te sorridendo. “È fortunato,” dice. “Abbiamo abbastanza posti per lei e tutti i suoi amici, dopotutto.”

Se sei incuriosito dalla risposta di Hilbert, e da ciò che potrebbe aver detto al telefono per liberare così tante stanze, sappi che non sei solo.

Questo esempio, sviluppato dal matematico David Hilbert nel 1924, era pensato per dimostrare la natura paradossale dell’infinito. Più recentemente, un team di fisici ha realizzato questo esperimento mentale usando la luce. Il loro lavoro è descritto in Physical Review Letters.

Per farla breve, la storia è questa: Un hotel con un numero infinito di stanze, ognuna delle quali è occupata, non dovrebbe poter accogliere altri ospiti. D’altronde è pieno.

Nonostante ciò, a causa della natura dell’infinito, il gestore dell’hotel di fatto potrà ospitare nuove persone. Tutto ciò che deve fare è spostare gli attuali ospiti in altre stanze, e secondo una determinata regola. per esempio, diciamo che tutti si spostino dalla loro camera numero X a un’altra camera numero 2X—ovvero il doppio. Questa operazione farà apparire tutta una serie di nuove stanze dispari, et voilà, hai creato un numero infinito di stanze libere, ognuna delle quali con un numero dispari. E la matematica dispone di un numero infinito di numeri dispari.

Immagine: Miatto et al

I fisici hanno illustrato due diversi approcci per sviluppare l’hotel paradossale di Hilbert, uno teoretico (su carta) e uno sperimentale (nella vita reale). entrambi gli approcci fanno uso del principio della meccanica quantistica che dice che un sistema quantistico può includere un numero infinito di stati quantistici. Questi stati rappresentano le stanze dell’hotel.

Nel modello teoretico, il team usa un numero infinito di potenziali livelli di energia per una certa particella confinata in una buca di potenziale. Le buche di potenziale sono costrutti ipotetici spesso usati per dimostrare la differenza tra sistemi classici e quantistici. Per immaginarle, basta pensare a un involucro con pareti infinitamente alte, così una particella intrappolata dentro tenterà di accrescere all’infinito il suo livello di energia per scapparne fuori, senza però riuscirvi. Un infinito contenuto.

Visto che i fisici non potevano costruire davvero una buca di potenziale per provare le loro ipotesi, si sono arrangiati e hanno trovato metodi alternativi per replicare gli stessi effetti di questa struttura ipotetica.

Per dare vita al loro hotel, il team ha sfruttato i fotoni e il numero infinito di momenti angolari orbitali (OAM) degli stati della luce. Gli OAM sono associati con la rotazione di un oggetto attorno a un determinato asse, e nel caso dei raggi di luce, si riferisce a come gli OAM modulino i propri movimenti mentre si propagano. Manipolando l’OAM della luce, il team ha creato un effetto che può essere interpretato come una buca di potenziale che si avvita su se stessa.

“Questo tipo di manipolazione dell’OAM degli stati della luce non è mai stata eseguita prima,” ha spiegato a Motherboard Filippo Miatto, dell’Institute for Quantum Computing della University of Waterloo e co-autore dello studio. “Potrebbe aprire a nuove possibilità sulle operazioni non-lineari, che sono il cuore del quantum information processing.”

Immagine: Miatto et al

Ogni volta che il team ha eseguito l’esperimento, ha moltiplicato le composizioni OAM per tre, quasi come nella storia dell’anziano Hilbert, che moltiplica ogni stanza per due per creare nuovi posti—hanno dimostrato che il risultato non cambia se il fattore della moltiplicazione è 2, 4 e via così.

Di fatto, il team prendeva un certo numero di stati e moltiplicava la loro ampiezza per tre. Questo generava un numero infinito di stati che non erano occupati e quindi potevano portare delle informazioni—gli spazi tra i petali rossi nell’immagine sopra, che rappresentano gli stati vuoti.

“Filosoficamente, dopo le nostre scoperte, chiunque potrebbe chiedersi se il nostro mondo possa ospitare la nozione matematica di inifinito, come spiegata dal paradosso di Hilbert,” ha aggiunto Miatto in un comunicato stampa. “Perlomeno, i formalismi delle meccaniche quantiche lo permettono.”

Il fatto di poter realizzare fisicamente l’Hotel di Hilbert grazie alla luce è abbastanza incredibile, ma le applicazioni di questa tecnica rimangono ancora oscure. Mentre il team continua gli studi, possiamo solo dire che questa scoperta potrebbe un giorno rivelarsi utile nell’information processing classico e quantistico, permettendo di creare gap di frequenza tra i vari canali prima di raggrupparli in un singolo canale di comunicazione.