La macchina capace di inventare domande matematiche mai viste prima

Una buona congettura ha un effetto magnetico per la mente di un matematico: esprime un concetto molto profondo in modo preciso e succinto—ed è pronta per essere dimostrata o confutata.

Ma formulare una buona congettura non è facile. Deve essere abbastanza profonda da suscitare curiosità, ma non al punto da essere imperscrutabile. Molti dei problemi matematici più famosi sono congetture, ipotesi su cui i matematici lavorano poi per anni.

Un gruppo di ricercatori del Technion—l’Istituto di Tecnologia di Israele—e dei laboratori di Google a Tel Aviv ha presentato un sistema automatizzato di congetture chiamato la Macchina di Ramanujan, in onore del matematico Srinivasa Ramanujan, morto nel 1920, che ha sviluppato migliaia di formule matematiche innovative, pur non avendo compiuto quasi nessuno studio formale. Il sistema informatico ha già prodotto diverse congetture originali e formule importanti per costanti universali della matematica. Il lavoro del gruppo è stato pubblicato su Nature.

Una delle formule create dalla Macchina può essere usata in particolare per calcolare il valore di una costante universale chiamata il numero di Catalan, in modo più efficiente di qualsiasi formula scoperta dall’uomo in passato. Lo scopo della Macchina di Ramanujan, però, non è la conquista assoluta della matematica—piuttosto, è quello di fornire una sorta di canale di alimentazione ai matematici esistenti.

Come spiegano i ricercatori nel paper, la matematica può essere suddivisa in due processi principali: ipotizzare cose e dimostrare cose. Se c’è maggiore disponibilità di congetture, c’è più materia su cui lavorare—ovvero più cose da dimostrare (o confutare) e spiegare.

Il sistema è comunque piuttosto ambizioso: stando ai ricercatori, la Macchina di Ramanujan vuole “sostituirsi all’intuito matematico dei migliori matematici e fornire indicazioni per far avanzare la ricerca in campo matematico.”

Questo, nonostante il sistema non sia comunque una macchina matematica universale. Il suo compito infatti si limita a ipotizzare formule di calcolo relative a numeri specifici chiamati costanti universali—la più famosa tra le quali, il Pi greco, definisce il rapporto tra la circonferenza e il diametro di un cerchio. Il Pi si definisce universale perché compare ovunque nel mondo della matematica, e costante perché mantiene sempre lo stesso valore per qualsiasi cerchio, a prescindere dalle dimensioni.

In particolare, la Macchina produce congetture relative al valore delle costanti universali (come il Pi), tradotte in frazioni continue. Le frazioni continue sono essenzialmente frazioni vertiginose: in una frazione continua, infatti, il denominatore comprende una somma di due termini, il secondo tra i quali è esso stesso una frazione, il cui denominatore contiene a sua volta una frazione e via discorrendo, fino all’infinito.

Le frazioni continue affascinano da tempo i matematici, per la loro peculiare combinazione di semplicità e profondità, e per il fatto che il valore totale di una di queste frazioni equivale spesso e volentieri a un’importante costante matematica. In aggiunta all’essere “intrinsecamente affascinanti” per la loro estetica, sono anche molto utili per determinare le proprietà fondamentali delle costanti, come hanno scritto Robert Doughtery-Bliss e Doron Zeilberger dell’Università di Rutgers in un preprint del 2020.

La Macchina di Ramanujan è costruita sulla base di due algoritmi primari. Questi trovano espressioni di frazione continua che, con un buon grado di fedeltà, sembrano equivalere a costanti universali. La fedeltà qui è importante, perché altrimenti le congetture sarebbero facilmente confutate e non avrebbero alcun valore.

Ogni congettura prende la forma di un’equazione. Il principio fondamentale dell’equazione è che la metà che sta a sinistra del segno uguale—una formula che include una costante universale—debba essere equivalente alla quantità a destra del segno uguale—che è una frazione continua.

Per ottenere queste congetture, l’algoritmo sceglie delle costanti universali arbitrarie per la parte sinistra dell’equazione e delle frazioni continue altrettanto arbitrarie per la parte destra, poi calcola ogni lato separatamente fino a un certo grado di precisione. Se i due lati si allineano, le quantità vengono calcolate con maggiore precisione per essere certi che l’allineamento non sia una coincidenza dovuta all’imprecisione. Un dettaglio importante: esistono già delle formule per calcolare il valore di costanti universali come il Pi greco con un certo grado di precisione, dunque l’unico ostacolo alla verifica della coincidenza tra le due parti dell’equazione è una questione di mero tempo di calcolo.

Prima di algoritmi come questo, i matematici dovevano usare la teoria matematica e i teoremi esistenti per stipulare una nuova congettura. Ma le congetture prodotte in modo automatico dalla macchina potrebbero consentire ai matematici di calcolare all’inverso teoremi oscuri, come Doughtery-Bliss e Zeilberger hanno già dimostrato.

La scoperta più sensazionale compiuta dai ricercatori non è qualche conoscenza finora rimasta nascosta, ma una nuova congettura inaspettatamente importante—che permette di calcolare la costante di Catalan, il cui valore è fondamentale in molti problemi matematici.

La frazione continua della congettura appena scoperta permette di calcolare la costante di Catalan nel modo più rapido mai individuato, battendo tutte le formule precedenti, che richiedevano più tempo per essere macinate da un computer. Questo sembra essere, dunque, un passo importante per l’informatica applicata alla matematica—un po’ come quando un computer ha battuto un campione di scacchi per la prima volta.