Er is een patroon ontdekt in de schijnbaar willekeurige wereld van priemgetallen

Het patroon lijkt verdacht veel op de verdeling van atomen in kristallen.
25.9.18
Afbeelding via Shutterstock; be

Priemgetallen staan ook wel bekend als “de bouwstenen van de wiskunde,” en ze fascineren wiskundigen al eeuwenlang door hun nogal onvoorspelbare en schijnbaar willekeurige karakter. Een team van onderzoekers aan Princeton University heeft onlangs een vreemd patroon ontdekt in de schijnbare chaos van priemgetallen. Met een nieuwe modelleringstechniek hebben ze verrassende overeenkomsten gevonden tussen priemgetallen en bepaalde natuurlijk voorkomende kristallijne materialen. En dit is best wel een flinke ontdekking die grote gevolgen kan hebben voor de natuur- en materiaalkunde.

Oké, maar wat zijn priemgetallen ook alweer?

Priemgetallen zijn hele getallen die alléén door zichzelf en door het cijfer 1 kunnen worden gedeeld en op een hoogst willekeurige manier over de getallenlijn verspreid liggen.

Ze beginnen bij 2, 3, 5, 7 en 11, en daarna keren ze af en toe op de getallenlijn terug, tot in het oneindige. Hoe verder we komen, hoe hoger de mate van willekeur waarmee verschijnen lijkt. Het ontbreken van een duidelijk patroon werd het beste samengevat door de Britse wiskunde R.C. Vaughan: “Het is duidelijk dat priemgetallen willekeurig verdeeld zijn, maar helaas weten we niet wat ‘willekeurig’ hier inhoudt.”

Advertentie

Deze wanorde heeft zeker bepaalde toepassingen. Een aantal van de belangrijkste soorten moderne cryptografie zijn gebaseerd op de extreme onvoorspelbaarheid van zeer grote priemgetallen. Het veelgebruikte RSA-versleutelingsalgoritme werkt bijvoorbeeld met het principe dat het makkelijk is om twee zeer grote priemgetallen met elkaar te vermenigvuldigen, maar extreem moeilijk is om terug te rekenen welke priemgetallen zijn gebruikt om tot dit zeer grote getal te komen. Hoe dit specifiek in elkaar steekt in de context van RSA-encryptie, wordt hier uitgebreid uitgelegd.

Desalniettemin zijn priemgetallen nog steeds verantwoordelijk voor een aantal onopgeloste problemen in de wiskunde, zoals de beruchte Riemann-hypothese. Al sinds de oude Grieken er voor het eerst over schreven, zijn ze een van de belangrijkste onderwerpen binnen het vakgebied.

Een belangrijke ingeving

Chemici en natuurkundigen bestuderen doorgaans de structuur van een materiaal door er röntgenstralen op af te schieten, en dan te observeren hoe de stralen breken als ze in contact komen met de atomen in dat materiaal. Dit wordt röntgendiffractie genoemd. Verschillende materialen produceren verschillende patronen, afhankelijk van hoe symmetrisch hun atomen zijn gerangschikt.

Afbeelding: Theoretical Chemistry Group

Een vloeistof waar atomen constant door elkaar bewegen, zal de röntgenstralen op eenzelfde chaotische wijze verspreiden en niet voor een patroon zorgen. De rigide structuur van kristallen als zout of diamant, zal daarentegen wel op een ordelijkere manier de stralen breken door die herhalende interne structuur. Bovendien ontstaat er bij zeldzame materialen die bekendstaan als quasikristallen soortgelijke diffractiepatronen, zonder dat ze een herhalende atomische structuur hebben. Zowel kristallen als quasikristallen veroorzaken een verstrooiingspatroon waarin periodieke heldere vlekjes voorkomen die bekend staan als ‘Bragg-pieken’. Dit zijn de plekken waarop de röntgenstralen elkaar kruisen op vaste intervallen.

Vorig jaar had de theoretische chemicus en Princeton-docent Salvatore Torquato een ingeving – wat als priemgetallen gemodelleerd zouden worden als atoomachtige deeltjes? Zouden ze dan ook een patroon vormen?

Advertentie

Samen met zijn student Ge Zhang en getaltheoreticus Matthew de-Courcy-Ireland stelde Torquato met behulp van computers een weergave van de priemgetallen op als een eendimensionale reeks atomen, en lieten ze deze een lichtbundel breken. Het resultaat dat gepubliceerd werd in The Jounal of Statistical Mechanis: Theory and Experiment was verbluffend: ze zorgen niet alleen voor een quasikristalachtig interferentiepatroon, maar het was ook een fractaal patroon dat nog nooit eerder werd waargenomen. Torquato vertelde Quanta Magazine dat deze ontdekking impliceert dat priemgetallen “een volledig nieuwe categorie van structuren vormen”, wanneer ze als een tastbaar systeem worden beschouwd.

Vreemd genoeg verschijnt dit patroon alleen over getallenlijnen die lang genoeg zijn – als ze korter zijn verschijnt het patroon niet. Dit gegeven is bekend als ‘hyperuniformiteit’, een zeldzame eigenschap die maar bij een paar materialen en systemen in de natuur voorkomt, zoals de verdeling van de kegelcellen die kleur waarnemen in de ogen van vogels, bepaalde emulsies en quasikristallen. Maar ook de structuur van het universum op zeer grote schaal, en zoals nu blijkt, priemgetallen.

Hoewel de bevindingen van het team niet baanbrekend zijn voor de getaltheorie (aangezien de meest relevante wiskunde eerder al eens gedocumenteerd is, zij het in andere vorm), kunnen ze nog steeds nuttig blijken te zijn in een nieuw onderzoeksgebied dat het bestuderen van niet-herhalende patronen omvat.

De breking van een een röntgenstraal op een natriumkristal

Veel van de opwinding rond het onderzoek komt door de unieke wijze waarop het tastbare en de abstractere wiskundige wereld samenkomen. Henry Cohn, hoofdonderzoeker bij Microsoft Research, was niet betrokken bij het onderzoek, en vertelde aan Princeton: “Het is een prachtig, nieuw perspectief op deze informatie, en slaat een nieuwe brug tussen de materiaalkunde en onderzoek naar lichtrefractie.”

De wetenschappers melden ook dat ze een nieuw algoritme hebben ontwikkeld dat “het mogelijk maakt om priemgetallen met hoge nauwkeurigheid te voorspellen.” Hoewel het nut van zo’n tool nog niet bekend is, vormt het in ieder geval een volgende stap richting het volledig oplossen van het mysterie van priemgetallen.

Volg Motherboard op Facebook, Twitter en Flipboard.