Deze column heeft geen naam

In deze terugkerende serie licht theoretisch natuurkundige Paul de Lange de belangrijkste en meest hersenkrakende paradoxen in de wetenschap uit, omdat deze ons paradoxaal genoeg veel vertellen over de wetenschap zelf.

Ik vind dat als je bij Triviant een taartpuntje hebt gewonnen, je nog een keer mag gooien. Mijn huisgenoot vindt van niet. Nu hebben we ruzie en zullen we nooit meer Triviant spelen.

"Kijk dan in spelregels."

Daar staat dus niets over deze brandende kwestie in. Conclusie: Triviant is een kutspel, en de spelregels zijn al helemaal kut.

Waarom zijn die spelregels dan ook niet gewoon compleet, en staat – verdomme – niet gewoon elk denkbaar scenario duidelijk en eenduidig uitgelegd in die klote-spelregels? Is dat nou zo moeilijk?

Ja. Dat is dus zo moeilijk.

De spelregels van de Wiskunde

Teleurgesteld door Triviant speel ik een ander spel: Wiskunde. Het doel van het spel: Roep een uitspraak die waar is en bewijs, volgens duidelijk spelregels, dat die uitspraak ook daadwerkelijk klopt.

Hoe verrassender en vernieuwender de uitspraak is, hoe meer professorstitels en medailles je verdient. Degene met de meeste medailles op het eind van het spel heeft gewonnen.

Rekenvoorbeeld:

Ik claim dat deze zin waar is: "de wortel uit honderd is tien".

Ik pak nu de spelhandleiding en daarin staat: "het kwadraat van de wortel uit een getal moet dat getal zelf opleveren". Op een andere pagina staat: "Het kwadraat van tien is honderd". Die twee regels samen leveren mijn zin op. Mijn zin is dus waar en ik heb een punt verdiend.

Helaas krijg ik geen medailles en word ik ook geen professor in Harvard. Mijn waarheid was immers erg saai en algemeen bekend onder kleuters. De medailles win je met fascinerende stellingen over priemgetallen, het Oneindige en meetkunde in hogere dimensies.

Hoe Gödel mijn droom en de hele Wiskunde vermoordde

Zo'n heerlijk, overzichtelijk spel: dat is eens andere koek dan Triviant. En ik hoef met niemand meer ruzie te maken. Dacht ik.

Maar Kurt Gödel heeft eigenhandig mijn droom afgeslacht door aan te tonen dat de Wiskunde geen haar beter is dan Triviant! Dat ook de spelhandleiding van de Wiskunde, net als die van Triviant, gedoemd is onvolledig en dus kut te zijn en dat er altijd een stelling zal bestaan waarvan de waarheid niet volgens die spelregels valt te controleren, hoe dik je het boek met die stomme spelregels ook maakt.

Dus heb ik weer ruzie. Nu niet met mijn huisgenoot maar met de hele Wiskunde.

Neem bijvoorbeeld de uitspraak:

"Deze zin is niet waar".

Is die nu wel of niet waar? Als de zin waar is, dan is zij dus niet waar, maar als ze onjuist is, dan moet ze weer waar zijn. En dat kan allemaal helemaal niet. En er staat niets over deze zin in de spelregels. Verdomme!

In een koele en laffe daad heeft op deze manier Kurt Gödel in 1931 een eind gemaakt aan mijn droom, en de droom van generaties wiskundigen. De droom dat er een volledig handboek voor het edele spel der Wiskunde, en alle logische wetenschappen zou bestaan. Een handleiding die voor één rede vatbaar zou zijn en nooit tot ruzie zou leiden. Een handleiding die dus nooit zou kunnen bestaan. De droom stierf in de handen van Gödel die bewees dat Wiskunde gedoemd is incompleet te zijn, met wat nu bekend staat als "De Eerste Onvolledigheidsstelling."

In zijn bewijs laat Gödel zien dat elk wiskundig systeem uiteindelijk een zin zal bevatten van de vorm: "Deze zin is niet te bewijzen". Als deze zin waar is, dan is deze niet te bewijzen, dus klopt de stelling. Maar als de zin niet waar is dan is er een onware uitspraak te bewijzen. En dat moeten we ook niet willen.

Dus elk spel - en elke vorm van logica - is altijd onvermijdelijk onlogisch en paradoxaal. De paradox huist overal: in een bordspel, in de wetenschap, in de politiek, in het recht en in de taal. En paradoxaal genoeg zijn het deze paradoxen die ons begrip over de logica en de wetenschap verder helpen. Ze leggen de vinger op de zere plek en dagen ons uit dieper na te denken dan we nodig achtten. Daarom deze columns, die uitsluitend het onvermijdelijk onlogische zullen behandelen.

Hoe teleurstellend de onlogische paradox van de logica ook is, het betekent niet dat we het spel moeten opgeven. Dus speel ik vanavond weer Triviant en geef ik toe: na het behalen van een taartpunt is de beurt voorbij.