Une machine invente des maths jamais vues auparavant

La « machine de Ramanujan » est capable de générer des conjonctures inédites à partir des constantes fondamentales.
18.3.21
machine de Ramanujan
Image : agsandrew via Getty Images 

Une bonne conjecture exerce une sorte d'attraction magnétique sur l'esprit d'un mathématicien. Il s’agit d’un énoncé mathématique qui est plausible mais qui reste à prouver. Il est toutefois difficile de poser une bonne conjecture. Elle doit être suffisamment profonde pour susciter la curiosité et l'investigation, mais pas obscure au point qu'il soit impossible de l'envisager en premier lieu. Bon nombre des problèmes mathématiques les plus célèbres sont des conjectures, et non des solutions, comme le dernier théorème de Fermat. 

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Les ingénieurs du Technion, l’Institut de technologie d’Israël, viennent de développer un système informatique baptisé « machine de Ramanujan » en hommage au mathématicien indien du même nom qui a élaboré des milliers de formules innovantes sur la théorie des nombres sans jamais avoir reçu d’enseignement formel. L’algorithme a déjà généré de nouvelles conjectures mathématiques impliquant des constantes et a réussi à calculer la valeur du nombre de Catalan plus efficacement que n’importe quel homme avant lui. Les travaux ont été publiés ce mois-ci dans la revue Nature.

Comme l'expliquent les chercheurs dans leur article, l'ensemble de la discipline mathématique se divise en deux processus : poser des conjectures et prouver des conjectures. Plus il y a de conjectures, plus il y a de grain à moudre pour l'esprit mathématique.

Si le logiciel a pour but de « fournir un outil significatif pour la recherche mathématique », ce n'est cependant pas une machine universelle. Il conjecture plutôt des formules permettant de calculer la valeur de nombres spécifiques appelés constantes fondamentales. La plus célèbre de ces constantes, Pi, donne le rapport entre la circonférence et le diamètre d'un cercle. Pi peut être qualifiée de propriété universelle parce qu'elle apparaît dans toutes les mathématiques, et de constante parce qu'elle conserve la même valeur pour chaque cercle, quelle que soit sa taille. 

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Le système formule des conjectures sur la base des valeurs numériques au sein même des constantes fondamentales (comme Pi), écrites en termes de formules élégantes appelées fractions continues. Les fractions continues sont essentiellement des fractions, mais en plus vertigineux. Le dénominateur d'une fraction continue comprend une somme de deux termes, dont le second est lui-même une fraction, dont le dénominateur contient lui-même une fraction, et ainsi de suite, jusqu'à l'infini. 

Les fractions continues fascinent depuis longtemps les mathématiciens par leur combinaison particulière de simplicité et de profondeur, la valeur totale de la fraction étant souvent égale à des constantes importantes. En plus d'être « intrinsèquement fascinantes » pour leur esthétique, elles sont également utiles pour déterminer les propriétés fondamentales des constantes, comme l'ont récemment écrit Robert Dougherty-Bliss et Doron Zeilberger de l'université Rutgers. 

La machine de Ramanujan repose sur deux algorithmes primaires. Ceux-ci trouvent des expressions de fractions continues qui, avec un degré de fiabilité élevé, semblent être égales à des constantes universelles. Cette fiabilité est importante, sinon quoi les conjectures seraient facilement écartées et n'auraient que peu de valeur. 

Chaque conjecture prend la forme d'une équation. L'égalité doit être maintenue entre les deux côtés de l’équation : à gauche, une formule impliquant une constante fondamentale ; à droite, une fraction continue.

Pour parvenir à ces conjectures, l'algorithme choisit des constantes fondamentales arbitraires pour le côté gauche et des fractions continues arbitraires pour le côté droit, puis calcule chaque côté séparément avec une certaine précision. Si les deux côtés semblent s'aligner, les quantités sont calculées avec une plus grande précision pour s'assurer que leur alignement n'est pas une coïncidence. Il est important de noter qu’il existe déjà des formules pour calculer la valeur de constantes fondamentales comme pi avec une précision arbitraire, de sorte que la différence réside dans le temps de calcul. 

Mais la découverte la plus notable des chercheurs jusqu'à présent est une nouvelle conjecture d'une importance surprenante : elle permet de calculer la constante de Catalan, dont la valeur est nécessaire pour de nombreux problèmes mathématiques.

L'expression de la fraction continue de cette nouvelle conjecture permet de calculer la constante de Catalan plus vite que toutes les formules précédentes. Cela semble marquer un nouveau progrès pour l'informatique, un peu comme la première fois où un ordinateur a battu un maître d'échecs, mais cette fois dans le jeu des conjectures.

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