Per la nostra nuova rubrica Impariamo Assieme, abbiamo chiesto a Alistair Savage, professore associato di Matematica e Statistica all’Università di Ottawa, di raccontarci qualcosa sulla teoria della treccia.

La topologia è quella branca della matematica che si occupa delle proprietà spaziali degli oggetti che non mutano se sottoposti a sforzi di torsione, trazione o deformazioni di altro tipo.
Nel tentativo di arrivare a capo della miriade di concetti un tantino impegnativi che conseguono dallo studio di queste astrazioni, i matematici sono soliti mettere a punto strumenti visivi, per aiutare i loro cervelli a concretizzare problemi che altrimenti rimarrebbero totalmente intangibili. Uno di questi, particolarmente caro a topologi e fisici, è la treccia.
Immaginate due righe verticali, composte da tre punti, paralleli gli uni agli altri. Per prima cosa, congiungete i due punti intermedi con una linea. Dopodichè, collegate il punto in basso a sinistra a quello in alto a destra con una linea che, inclinandosi leggermente verso l’alto, passa sopra la prima. Poi, congiungete il punto in alto a sinistra con quello in basso a destra, con un’altra linea che passa sopra alle precedenti . Congratulazioni! Avete appena costruito una treccia a tre corde! Ne avete una chiara rappresentazione visiva qua sotto.

Abbastanza semplice. Ma se volete davvero incasinarvi i cervelli in un groviglio degno di nodi di bolina a doppio cappio, date un occhio alla teoria dei nodi, vi lascerà sgomenti.
Nodi e trecce sono ritenuti di grande interesse dai fisici a causa delle loro applicazioni alla teoria delle stringhe. Questo tipo di applicazioni, comunque, presenta un problema intrigante: se un matematico riesce a modellare un nodo, rendendolo identico a un altro nodo, giro dopo giro, senza mai tagliarne i fili, e nemmeno facendoli passare gli uni attraverso gli altri, può, suddetto matematico, definire i due nodi “identici”? Le due figure devono per forza mostrare evidenti disuguaglianze per essere considerate diverse? In altre parole, se tutto è fatto di stringhe, e noi ricreassimo con precisione tutte le stringhe di cui voi siete fatti, voi sareste ancora voi?
Ovviamente, cercare di risolvere questo dilemma impiegando solamente rappresentazioni grafiche può rivelarsi complicato. Se si vuole rappresentare questi casi con espressioni algebriche, i nodi devono essere ridotti a trecce, e le trecce devono essere spezzate in elementi più semplici, singoli intrecci, noti come “generatori”. Un aspetto relativo alla composizione delle trecce che i nuovi studenti ritengono stimolante è l’ordine degli intrecci.
L’ordine degli intrecci non ha importanza: si avrà la stessa treccia, sia che si annodino la prima e la seconda stringa, sia che lo si faccia con la nona e la decima. Sarà sempre considerata la stessa treccia, non ha importanza quante volte i singoli fili verranno ricombinati.
Esistono inoltre diverse categorie di trecce. Nella categoria dei “nastri”, le trecce sono immaginate come nastri rigidi e piatti, che possono attorcigliarsi gli uni agli altri, piuttosto che come stringhe che si sovrappongono. Un’altra categoria, quella monoidale simmetrica, è rappresentativa delle trecce che possono essere divise senza che ne siano tagliate le stringhe, a prescindere dall’orientamento degli incroci.
Oggigiorno, molti matematici si stanno discostando dal considerare le trecce come vere e proprie entità fisiche – punti connessi da fili – e stanno invece iniziando ad utilizzarle come metafore. Questo è l’ambito in cui le trecce possono diventare estremamente utili come via per raggiungere nuove intuizioni. Invece che immaginare i summenzionati punti come materiali, concreti elementi fisici, pensateli come un altro tipo di oggetto matematico, per esempio un insieme o uno spazio vettoriale. Affascinante, vero?
Fondamentalmente, si può dire che la teoria delle trecce è uno strumento utilizzato per organizzare complessi concetti matematici. Come avete appena visto, le trecce possono semplificare quasi tutto. Con le trecce, potrai anche tu speculare su mappe tra spazi vettoriali, o addirittura tra prodotti tensoriali!

ALISTAIR SAVAGE